Matematyka finansowa - # brak danych # - Notatki

MATEMATYKA FINANSOWA 1. KAPITALIZACJA PROSTA, ZłOżONA, CIĄGłA. OPROCENTOWANIE, DYSKONTOWANIE. Wartość kapitału w czasie PV – początkowa wartość kapitału; r – roczna stopa procentowa (nominalna); I – odsetki T – czas oprocentowania wyrażony w latach; FV – końcowa (przyszła) wartość kapitału po upływie T lat; Kapitalizacja odsetek – powiększenie kapitału o odsetki. Dwie zasady oprocentowania: 1. zasada oprocentowania prostego 2. zasada oprocentowania składanego (złożonego) Przykład 1. Jaka będzie wartość kapitału 2000 zł po roku (trzech latach), jeśli stopa procentowa wynosi 16% w całym horyzoncie, a odsetki są naliczane w sposób prosty. (2320; 2960) Uogólnienie przykładu 1. Różne stopy procentowe Jaka będzie wartość kapitału 2000 zł po trzech latach, jeśli w pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 16%, w kolejnym zmniejszyła się o 1 punkt procentowy (p.p.), a w trzecim roku wzrosła o dwa punkty procentowe (w odniesieniu do roku drugiego) a odsetki są naliczane w sposób prosty. (2960) Przykład 2. Jaka będzie wartość kapitału 2000 zł po roku (trzech latach), jeśli stopa procentowa wynosi 16% w całym horyzoncie, a odsetki są naliczane z kapitalizacją roczną. (2320; 3121,79) Uogólnienie przykładu 2. Różne stopy procentowe Jaka będzie wartość kapitału 2000 zł po trzech latach, jeśli w pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 16%, w kolejnym zmniejszyła się o 1 punkt procentowy (p.p.), a w trzecim roku wzrosła o dwa punkty procentowe (w odniesieniu do roku drugiego) a odsetki są naliczane z kapitalizacją roczną. (2320; 3 121,56) Model oprocentowania składanego z kapitalizacją w podokresach Okres, po którym naliczane są odsetki: okres bazowy (lub okres stopy procentowej), m – liczba okresów bazowych w roku; Przykład 3. Jaka będzie wysokość depozytu 2000 zł po roku (trzech latach), jeśli obowiązuje roczna stopa procentowa 16%, a odsetki są naliczane z kapitalizacją: a) kwartalną, (2339,72; 3202,06) b) miesięczną, (2 344,54; 3221,91) c) tygodniową. (2 346,45; 3229,77) Uogólnienie przykładu 3. Różne stopy procentowe Jaka będzie wartość kapitału 2000 zł po trzech latach, jeśli w pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 16%, w kolejnym zmniejszyła się o 1 punkt procentowy (p.p.), a w trzecim roku wzrosła o dwa punkty procentowe (w odniesieniu do roku drugiego) i kapitalizacja jest kwartalna (3 201,99) Jak dalece zwiększanie częstości kapitalizacji przy danej nominalnej rocznej stopie procentowej może zwiększać wartość końcową? – Model kapitalizacji ciągłej Przykład 3 cd. Roczna intensywność oprocentowania wynosi 16%. Jaka jest wartość 2000 zł po roku (2 347,02), po trzech latach (3232,15)? Dyskontowanie = aktualizacja – obliczanie kapitału początkowego na podstawie znanej wartości kapitału końcowego. D – dyskonto po okresie T lat. Dyskontowanie przy pomocy stopy procentowej nazywamy rzeczywistym (matematycznym) Przykład 4. Za trzy lata będziemy potrzebowali na modernizację sprzętu 200 000 zł. Na ten cel zamierzamy wpłacić na depozyt bankowy pewną kwotę, która pokryje w przyszłości to zapotrzebowanie. Jaka to musi być jej wysokość, jeśli wybraliśmy półroczną lokatę odnawialną przy rocznej stopie procentowej 6%. (167 496,85) Stopa dyskontowa (d) Stopa dyskontowa określa o ile procent wartość obecna jest mniejsza od wartości przyszłej. Dyskontowanie przy pomocy stopy dyskontowej nazywamy handlowym Przykład 5 Pan X pożyczył 100 zł, a po roku zwrócił 120zł. Ile wynosiła stopa procentowa tej pożyczki (tzn. o ile % więcej oddał, niż dostał)? Ile wynosiła stopa dyskontowa tej pożyczki (tzn. o ile % mniej dostał, niż oddał)? Zasada równoważności kapitałów Kapitały i są równoważne, jeśli ich wartości zaktualizowane na jakikolwiek moment czasu są równe. Przykład 6. Rodzice wpłacili synowi na początku roku 1000 zł na roczną lokatę odnawialną przy stopie procentowej 10%. Po upływie dwóch lat, na tę samą lokatę wpłacili córce 1200 zł. Czy lokaty obojga rodzeństwa są równoważne? Annualizacja (stopy nominalne) Przykład 7. Inwestycja A dała 8% zwrot po dwóch miesiącach (VII, VIII), a inwestycja B dała 10% zwrot po trzech miesiącach (VII, VIII, IX). Jak porównać te stopy? W praktyce występują trzy sposoby rachunku czasu: 1) liczba dni w roku i w miesiącach według kalendarza (act/act) (47,1%; 39,67%) 2) 1 rok bankowy = 12 miesięcy po 30 dni (30/360) (48%; 40%) 3) 360 dni w roku, a liczba dni w miesiącu według kalendarza (act/360) (46,45%; 39,13%) Zasada równoważności stóp procentowych Stopy procentowe są równoważne, jeśli przy każdej z nich kapitał początkowy P generuje w czasie T odsetki I o identycznej wartości. Przykład 8. Czy następujące stopy są równoważne: a) i = 2% na dwa miesiące w modelu oprocentowania prostego i r = 12% roczna? b) i = 6% półroczna (składana półrocznie) i r = 12% roczna? Efektywna roczna stopa procentowa (ref) roczna stopa procentowa równoważna stopie procentowej okresu bazowego – określa, o ile procent zwiększa się wartość kapitału w ciągu roku Przykład 9 Która oferta rocznych nominalnych stóp procentowych depozytów jest korzystniejsza dla klienta: 8,05% z kapitalizacją miesięczną, czy 8,15% z kapitalizacją półroczną? Ile wynosi różnica (w p.b.)? (3 p.b.) ćwiczenia. (Rachunek czasu 30/360) 1. Jaką wartość osiągnie kapitał 100 zł i jaka jest wysokość odsetek po a) 2 latach, b) 450 dniach, gdy nom. roczna stopa proc. wynosi 16% i kapitalizacja odsetek jest kwartalna. (136,86; 121,67) 2. łącznie z odsetkami naliczonymi za dwa miesiące wg rocznej stopy nominalnej 12% otrzymano 120 zł. Jaka była kwota odsetek, a jaka kwota początkowa lokaty? (2,35, 117,65) 3. Spółka X posiada 10 000 akcji spółki Y. Jaka jest obecna wartość dywidendy, która w wysokości 10 zł na akcję ma zostać wypłacona za rok? Przyjmij roczną stopę procentową 4% i kapitalizację roczną (96 153,85) 4. W 1867r. Stany Zjednoczone kupiły od Rosji Alaskę za 7,2 mln dolarów. (Jednym z głównych negocjatorów transakcji ze strony amerykańskiej był polski i amerykański generał Włodzimierz Krzyżanowski, który następnie pełnił funkcję administratora tego terytorium). Przyjmując rocznie średnio 5% wzrostu, wyznacz dzisiejszą „wartość” Alaski. 5. W 1626 roku holenderski gubernator Nowego Amsterdamu kupił wyspę Manhattan od miejscowych Indian za 24 dolary. Holendrzy kontrolowali ten obszar do 1664 roku, kiedy przejęli go Anglicy i nazwali Nowym Jorkiem. Przyjmując rocznie średnio 5% wzrostu, wyznacz dzisiejszą „wartość” tego obszaru. 6. Jaka jest wartość depozytu 1000 zł po czterech latach, jeśli w pierwszym roku nominalna stopa procentowa wynosiła 16%, w drugim 14%, a w trzecim i czwartym 10%. Bank kapitalizuje odsetki co pół roku? (1623,20) 7. Jaka jest wartość depozytu 5000 zł po trzech latach, jeśli: początkowo roczna nominalna stopa procentowa wynosiła 18% i bank kapitalizował odsetki na koniec każdego miesiąca; po pół roku nominalne stopy procentowe spadły o 2 p.p. i okres bazowy został wydłużony do kwartału; na początku trzeciego roku stopy procentowe spadły o kolejny 1 p.p., ale okres bazowy został utrzymany? (8 015,28) 8. Ala wpłaciła 100, a Zosia 50 na rachunki z roczną stopą r i kapitalizacją roczną. Po 12 latach wartość depozytu Ali wynosiła X. Wartość depozytu Zosi wyniosła X po 18 latach. Wyznacz X. (400) 9. Roczna nominalna stopa procentowa wynosi 6%, procent prosty. Chcemy na koniec drugiego roku odebrać 106 zł. Ile musimy wpłacić na początku roku? (94,64) 10. Firma MIZAR została wyceniona na kwotę 100 jp. Właścicielom złożono ofertę wykupu firmy za kwotę 180 jp. z terminem zapłaty w końcu 3 roku. Szacuje się, że stopa procentowa utrzyma się na poziomie 20%. Czy oferta jest korzystna dla właścicieli? (tak; 104,17) 11*. Pewna kwota została zdeponowana na kwartalnej lokacie odnawialnej na lat i po tym czasie jej wartość wyniosła 600 jp. Wiadomo, że gdyby horyzont lokaty wydłużyć dwukrotnie uzyskana kwota byłaby trzykrotnie wyższa. Wyznacz tę kwotę. (200) 12. Klient rozważa ulokowanie kapitału w banku na rok. Rozważa lokatę kwartalną przy rocznym oprocentowaniu 4%, półroczną przy rocznym oprocentowaniu 4,2% i roczną przy oprocentowaniu 4,3%. Którą opcję powinien wybrać i dlaczego? (roczne efektywne stopy procentowe wynoszą odpowiednio: 4,06%; 4,24%; 4,3%, zatem trzecią) 13. Jakie powinny być roczne stopy nominalne dla lokat: półrocznej, kwartalnej, miesięcznej, aby roczny efektywny przyrost kapitału wynosił 20%? (19,10%; 18,65%; 18,37%) 14. Klient ulokował pewną sumę na lokacie półrocznej, przy r=6%, ale po pół roku zmienił strategię i przeniósł środki na lokatę kwartalną przy r=4%. Na koniec drugiego roku oszczędzania ponownie zmienił strategię i przeniósł cały kapitał na lokatę roczną, przy r=6,5%. Po trzech latach stan jego oszczędności wyniósł 1000 zł. Ile miał na początku i która z lokat była najbardziej opłacalną formą oszczędzania? (858,79 zł; 6,5%; 6,09%; 4,06%) 15. Ile wynosi roczna nominalna stopa procentowa kwartalnej lokaty odnawialnej, na której 1000 przez trzy lata daje tyle samo, co 1200 przez dwa lata? (18,65%) 16. Pewna kwota została zdeponowana na półrocznej lokacie odnawialnej na 4 lata. Wiadomo, że gdyby horyzont lokaty wydłużyć do 8 lat uzyskana kwota byłaby czterokrotnie wyższa. Wyznacz roczną stopę procentową tej lokaty. (37,84%) 17**. Eryk zdeponował X na 8 lat na rachunku z roczną stopą procentową r składaną półrocznie. Mike zdeponował 2X na 8 lat na rachunku z oprocentowaniem prostym wg tej samej rocznej stopy r. Wiadomo, że wartość odsetek w ostatnim półroczu trwania depozytu jest taka sama dla obu rachunków. Wyznacz roczną stopę procentową r. (9,46%)